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信号与系统

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信号的分类

基于信号维度的分类

一维信号，如声音；二维信号，如图像；三微信号，如视频，深度图（将从图像采集器到场景中各点的距离（深度）作为像素值的图像；四维信号，如三维游戏中看到的信号。

在信号与系统中，我们只讨论一维信号。

连续信号和离散信号

连续信号：在任何时刻除了若干个不连续点外都有定义的信号。

表示方法：\(x(t)\)，注意是圆括号和 \(t\)

离散信号：仅在一些离散时刻有定义，一般自变量只取整数值。

表示方法：\(x[n], n\in \mathbb{Z}\)，注意是方括号和 \(n\)

周期信号和非周期信号

周期信号：信号随时间变量 \(t\) 或 \(n\) 变化，具有重复性。

\(x(t)=x(t+mT), m\in \mathbb{Z}\)

\(x[n]=x[n+mN], m\in \mathbb{Z}, N\in \mathbb{N}\)

奇信号与偶信号

按信号是关于原点对称或关于坐标纵轴对称

任何信号都可以分解为一个奇信号与偶信号

\[ x(t)=[\frac{x(t)+x(-t)}{2}]+[\frac{x(t)-x(-t)}{2}]\\ =x_e(t)+x_o(t) \]

这个拆法是唯一的，\(x_e(t)=x_e(-t)\)，\(x_o(t)=-x_o(-t)\)

连续和离散信号的拆法相同。

在 \(n_1\leqslant n \leqslant n2\) 内的离散时间信号的总能量和平均功率公式：

\[ E=\sum_{n=n_1}^{n=n_2} |x[n]|^2 \\ \]
\[ P=\frac{1}{n_2-n_1+1} \sum_{n=n_1}^{n=n_2} |x[n]|^2 \\ \]

连续信号的公式只需要改写为积分形式即可。

\[ E=\int_{t_0}^{t_1} |x(t)|^2 dt \\ \]
\[ P=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} |x(t)|^2 dt \\ \]

奇异信号

单位阶跃信号

  • 单位阶跃信号记作\(u(t)\)，其定义为：
\[u(t)= \begin{cases} 0,& t<0\\ 1,& t> 0\\ \end{cases}\]

\(t=0\)时，\(u(0)\)可以为任何值

img

冲激信号

一类极短时间发生的信号。

\[\delta(t)= \begin{cases} +\infty,& t=0\\ 0,& other\ cases\\ \end{cases}\]

另外有

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)dt=1 \\ \]

以及

\[ \delta(t)=\frac{du(t)}{dt} \\ \]

图像如图：

img

抽样函数

\[ Sa(t)=\frac{sin(t)}{t}=\begin{cases}1 & t=0 \\ \frac{sin(t)}{t} & t≠0 \end{cases} \]

img

抽样函数有如下性质：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}dt =\pi \\ \]
\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}dt =\frac{\pi}{2} \\ \]

信号的自变量变换

与高中函数的图像变换类似。先转化成标准形式，有负号翻转，系数大于 \(1\)，压缩，系数小于 \(1\)，拉伸。最后左加右减进行平移。

需要注意的是，不同的信号函数之间相加减能产生不同大小区域的函数图像。冲激信号相互叠加也可以产生一定区域的离散的信号。这也就也是后面卷积公式的来源。

这里通过冲激信号相加能得到一个公式：

\[ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] \\ \]

基本系统性质

线性系统

\[ \forall x(t) \rightarrow y(t) \xrightarrow{we \ have } ax(t) \rightarrow ay(t) \ , \ a\in \mathbb{R} \\ \]
\[ \begin{cases} \forall x_1(t) \rightarrow y_1(t) \\ \forall x_2(t) \rightarrow y_2(t) \end{cases} \xrightarrow{we \ have} x_1(t)+x_2(t) \rightarrow y_1(t)+y_2(t) \]

时不变系统

\[ \forall x(t) \rightarrow y(t) \xrightarrow{we \ have } x(t-t_0) \rightarrow y(t-t_0) \ , \ t_0\in \mathbb{R} \\ \]

小判定依据

  • \(t\) 只在 \(x\) 的括号里

  • \(t\) 只能是 \(t\)，不能是 \(-2t\)，\(t^2\)等其它函数

因果系统

定义：如果一个系统任何时刻输出只取决于现在和过去的输入，就称该系统为因果系统。

输出 \(y(t)\) 在输入 \(x(t)\) 之后发生。

系统非因果在物理上难以实现。

无记忆系统

定义：一个系统无记忆，是指 \(y(t)\) 的值仅仅只依赖于 \(x(t)\) 的值。

例如， \(y(t)=x(t-1)\)，\(y(t)=x(2t)\) 都是一个有记忆的系统。 \(y(t)=x(t)^2+e^{x(t)}\) 则是一个无记忆的系统。

无记忆系统一定是因果系统。

可逆系统

定义： 可逆系统中，\(x(t)\) 能唯一写成 \(y(t)\)的形式。

\[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^nx[k] \\ \]

这个式子是可逆的，因为\(x[n]=y[n]-y[n-1]\)

稳定系统

定义：

已知 \(x(t) \rightarrow y(t)\)， 若 \(x(t)\) 有界，则推出 \(y(t)\) 有界。

\(x\) 有界：\(\exists M, \ \forall \ t, |x(t)|<M\)

积分器，连续微分器，叠加器都不稳定。但是离散的微分器稳定。