线性时不变系统

约 2153 个字 预计阅读时间 7 分钟

线性时不变系统（Linear Time-Invariant System）：如果一个系统既线性又时不变，我们就叫线性时不变系统。

通过研究 LTI，如果我们知道 LTI 系统的一个 $x(t)$ 对应的 $y(t)$ ，那么我们就知道所有 $x(t)$ 对应的 $y(t)$。

离散LTI卷积公式

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y[n]=x[n]\ast h[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]\end{array}$$

其中，$y[n]$ 表示输出信号，$x[n]$ 表示输入信号，$h[n-k]$ 表示该线性系统对一个移位的单位脉冲序列 $\delta [t]$ 的响应。

如何手算？

列表法计算

• 确定 $y[n]=x[n]\ast h[n]$ 取值范围

• $y[n]$ 最左边（最右边）= $x[n]$ 最左边（最右边）+ $h[n]$ 最左边（最右边）

• 把每一个 $h[n]$ 交错相加

公式法平移计算

• 写出 $x[n]$

• 翻转得到 $h[-n]$

• 平移 $h[-n]$ ，与 $x[n]$ 相乘后相加，就可以，每次得到一个位置的值

---

连续LTI卷积公式

考虑用一串脉冲或者说阶梯信号 $\hat{x}(t)$ 来近似 $x(t)$，将 $\hat{x}(t)$ 用一串延时脉冲的线性组合来表示。

定义

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\mathrm{\Delta }},& 0\le t<\mathrm{\Delta }\\ 0,& othercases\end{array}\end{array}$$

由于$\mathrm{\Delta }\cdot {\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)=1$ （这里 $\mathrm{\Delta }$ 和 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}$ 表示的是相乘），那么 $\hat{x}(t)$ 可以表示成

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \hat{x}(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }\end{array}$$

随着 $\mathrm{\Delta }$ 逐渐趋近于 $0$， $\hat{x}(t)$ 将越来越近似与 $x(t)$，取极限后得到 $x(t)$，于是我们有

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x(t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }\end{array}$$

转化为积分式($\mathrm{\Delta }$ 被放到了 $\tau$ 里面，$\tau$ 替换了 $k\mathrm{\Delta }$，表示 $k$ 时刻)：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau \end{array}$$

---

下面进行连续时间线性时不变系统的卷积积分表示的推导。

令 ${\hat{h}}_{k\mathrm{\Delta }}(t)$ 为一个线性时不变系统对输入的冲激函数 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })$ 的冲激响应，模仿公式 $(4)$，我们有：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \hat{y}(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\hat{h}}_{k\mathrm{\Delta }}(t)\mathrm{\Delta }\end{array}$$

同样在极限情况下，有：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& y(t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\hat{h}}_{k\mathrm{\Delta }}(t)\mathrm{\Delta }\end{array}$$

随着 $\mathrm{\Delta }\to 0$，这个式子就逼近于作为 $\tau$ 的函数的 $x(\tau )h_{\tau }(t)$的面积，因此得到：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h_{\tau }(t)d\tau \end{array}$$

由于这里 $h_{\tau }(t)=h_0(t-\tau )$，我们可以得到标准形式：

$$\begin{array}{}\text{(9)}& y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau \end{array}$$

冲激函数的性质

性质1

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)dt=1\end{array}$$

• 注意，由于离散的情况下没有积分情况，所以离散情况下冲激函数直接为 $1$

---

性质2

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\delta (t)dt=x(0)\end{array}$$

推导过程：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\delta (t)dt$$

$$=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}({\int }_0^{\mathrm{\Delta }}x(t)\cdot \frac{1}{\mathrm{\Delta }}dt)$$

$$=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }}({\int }_0^{\mathrm{\Delta }}x(t)\cdot dt)$$

$$=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }}x(ϵ)\mathrm{\Delta }(0\le ϵ\le \mathrm{\Delta })$$

$$=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}x(ϵ)(0\le ϵ\le \mathrm{\Delta })$$

$$=x(0)$$

• 中间用到了积分中值定理

---

性质3

两个函数相等的定义：（勒贝格定义）两个函数 $f_1(t)=f_2(t)$，是指对任意函数 $y(t)$，有：

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}y(t)f_1(t)dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}y(t)f_2(t)dt\end{array}$$

• 这里我们可以把$f_1(t),f_2(t)$ 想象成两个函数向量空间下的基。

勒贝格积分：横着对函数进行极限划分，可以积出所有黎曼可积的函数，并且能积分出一些黎曼不可积的函数。例如：$\lambda (t)=\{\begin{array}{l}1,t\in \mathbb{Q}\\ 0,t\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}$ 利用勒贝格积分得到的值就是 $0$。

这里的相等定义包含了一种情况，若$f_1(t)$ $f_1(t)$ 与 $f_2(t)$ 只在有限个点上不相等，在其他点上相等，则 $f_1(t)=f_2(t)$

由这种情况和勒贝格积分可知，若 $f_1(t)$ 与 $f_2(t)$ 在可数个点上不相等而其他点相等，则仍有 $f_1(t)=f_2(t)$

• 这里的“可数”指的是与自然数集（即非负整数集）具有相同的势或大小的集合。

对于函数 $f_1(t),f_2(t)$ 来说，当它们只在有限个点上不相等时，它们可以被视为相等。这是因为在对它们进行积分或其他类似的操作时，这些有限个不相等的点不会对结果产生影响。这种情况下的“有限”明确地意味着我们可以列举出所有这些点，并且它们的数量是有限的。

现在，要从“有限个点”扩展到“可数个点”，我们需要考虑一种更为普遍的情况，即有无限多的这样的点，但这些点是可数的。这意味着，虽然这些点是无限的，但我们仍然可以按照某种特定的顺序列举它们，例如：$t_1,t_2,t_3,\dots$ 。最常见的例子就是所有有理数点。尽管有理数在任何两个不同的实数之间都是稠密的（即在任何两个实数之间都有无数个有理数），但所有有理数组成的集合是可数的。

为什么“可数”点上的不等关系对于函数的积分或其他度量不会产生影响呢？这是因为在勒贝格积分的定义中，具有零“测度”的集合对积分没有贡献。一个可数的集合在勒贝格意义下的测度是零。因此，即使在可数无限多的点上，两个函数不相等，它们的勒贝格积分仍然可以相等。

这种推广是在实分析和测度论的背景下进行的，特别是当我们考虑更为普遍的函数和集合时。在这种情况下，使两个函数在可数无限多的点上可能不相等，但仍被视为“相等”的定义是有用的，因为它允许我们在更为广泛的上下文中进行积分和其他操作，而不必担心这些“异常”点所带来的复杂性。

性质3公式

$$\begin{array}{}\text{(13)}& x(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)\end{array}$$

证明：

由$(12)$，我们要判断相等，则将$(13)$左右两侧分别带入。于是可以得到左边：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}y(t)[x(t)\delta (t)]dt$$

$$={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[x(t)y(t)]\delta (t)dt$$

$$=x(0)y(0)$$

• 最后一步由性质 $2$ 得到，将 $x(t)y(t)$ 看作一个整体。

右边：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}y(t)[x(0)\delta (t)]dt$$

$$=x(0)[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}y(t)\delta (t)dt]$$

$$=x(0)y(0)$$

证毕。

推论：

$$\begin{array}{}\text{(14)}& x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)\end{array}$$

---

性质4

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)\end{array}$$

证明方法与性质 $3$ 类似，需要注意的是左侧式子换元的时候需要考虑 $a$ 的正负。

推论：

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \delta (at+b)=\frac{1}{|a|}\delta (t+\frac{b}{a})\end{array}$$

---

勒贝格定义卷积相等

定理：若 $h_1(t)=h_2(t)$，则 $x(t)\ast h_1(t)=x(t)\ast h_2(t)$

证明：

$$x(t)\ast h_1(t)$$

$$={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h_1(t-\tau )d\tau$$

$$={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t-\tau )h_1(\tau )d\tau$$

$$={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t-\tau )h_2(\tau )d\tau$$

$$=x(t)\ast h_2(t)$$

• 推的时候注意积分上下限符号与 $d\tau$ 的符号都发生了改变，因此负负得正。

该定理的逆命题也成立。

因此我们可以得到一个结论：用勒贝格函数相等定义做卷积（或分析LTI系统）是没有矛盾的。

---

性质5

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \delta (f(t))=\sum _{allf(t_0)=0}\frac{1}{|f^{\prime }(t_0)|}\delta (t-t_0)\end{array}$$

性质 $4$ 是性质 $5$ 的一个特例。（令$f(t)=at$）

---

$\delta (t)$ 的多样性

如果要证明一个函数 $f(t)$ 是 $\delta (t)$，我们只需要证明对任意函数 $y(t)$，有：

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}y(t)f(t)dt=y(0)\end{array}$$

• 由性质 $2$ 以及 $(12)$ 可得。“任意函数”实际上是在某些条件或限制下。

于是我们可以得到更多的 $\delta (t)$ 的形式。(我们知道 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{sin(\omega t)}{\pi t}dt=1$)

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \underset{\omega \to 0}{lim}\frac{sin(\omega t)}{\pi t}=\delta (t)\end{array}$$

证明：

引理：若 $x(t)$ 不是无限振荡函数，则有：

$$\underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\cos (\omega t)dt=0$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\sin (\omega t)dt=0\end{array}$$

下证：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[\underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (\omega t)}{\pi t}]y(t)dt=y(0)$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[\underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (\omega t)}{\pi t}]y(t)dt$$

$$=\underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[\frac{y(t)}{\pi t}]sin(\omega t)dt$$

$$=\underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[\frac{y(t)-y(0)}{\pi t}]sin(\omega t)dt+y(0)\underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin \omega t}{\pi t}dt$$

$$=y(0)$$

• 最后一步拆开 $y(t)$，使得式子符合引理中的无限震荡函数的要求，左边=0，右边${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{sin(\omega t)}{\pi t}dt=1$

证毕。

卷积性质

交换率

$$x[t]\ast h[t]=h[t]\ast x[t]$$

$$\begin{array}{}\text{(21)}& x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)\end{array}$$

结合率

$$\begin{array}{}\text{(22)}& [x(t)\ast h_1(t)]\ast h_2(t)=[x(t)\ast h_2(t)]\ast h_1(t)\end{array}$$

离散同理。

分配律

$$\begin{array}{}\text{(23)}& x(t)\ast [h_1(t)+h_2(t)]=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)\end{array}$$

离散同理。

有记忆和无记忆线性是不变系统

对于一个LTI系统，当 $n\ne 0$时 $h[n]=0$，我们说这个系统是无记忆的。

于是这时，单位脉冲响应为：

$$h[n]=K\delta [n]$$

其中 $K$ 为一个常数。卷积和变为：

$$y[n]=Kx[n]$$

当 $K=1$ 时，输入等于输出，系统就变成了恒等系统。

线性时不变系统的可逆性

一个线性时不变系统的冲击响应为 $h(t)$，另一个线性时不变系统的冲击响应为 $h_1(t)$，当二者满足：

$$h(t)\ast h_1(t)=\delta (t)$$

我们把这两个系统叫做互为逆系统。

线性时不变系统的因果性

一个线性时不变系统的因果性等效于它的冲激响应是一个因果信号。也就是说对于冲激响应 $h(t)$，满足：

$$h(t)=0,t<0$$

此时，我们的卷积积分变为：

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$

线性时不变系统的稳定性

线性时不变系统稳定的条件为：单位脉冲响应是绝对可和（可积）的，也就是说：

$$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h[k]|<\mathrm{\infty }$$

---

一些重要公式

方波的单位阶跃信号表示法

一个从 $a$ 到 $b$ 的方波可以被如下表示：

$$\begin{array}{}\text{(24)}& u(t-a)-u(t-b)\end{array}$$

---

积分器与累加器

$$\begin{array}{}\text{(25)}& x(t)\ast u(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\tau )d\tau \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(26)}& x[n]\ast u[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]\end{array}$$

---

冲激偶函数

$$\begin{array}{}\text{(27)}& {\delta }^{\prime }(t)=\frac{d\delta (t)}{dt}\end{array}$$

图像近似于如下所示：

在 $t=0-$，有一个向下的无限大的脉冲。

在 $t=0+$，有一个向上的无限大的脉冲。

在其他位置 $t\ne 0,{\delta }^{\prime }(t)$ 的值为0。

$$\begin{array}{}\text{(28)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-x^{\prime }(0)\end{array}$$

可以从这个式子推出下面这个式子：

$$\begin{array}{}\text{(29)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\delta }^{\prime }(t)dt=0\end{array}$$

卷积的求导

$$\begin{array}{}\text{(30)}& \frac{dx(t)}{dt}=x(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)\end{array}$$

• 微分器是 LTI 系统，微分器的冲激响应是 ${\delta }^{\prime }(t)$（也就是微分器的 $h(t)$ ），对微分器输入任意 $x(t)$，根据卷积定义，输出为 $\frac{dx(t)}{dt}=x(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)$

$$\begin{array}{}\text{(31)}& \frac{d[x(t)\ast h(t)]}{dt}=\frac{dx(t)}{dt}\ast h(t)=\frac{dh(t)}{dt}\ast x(t)\end{array}$$

卷积的左移右移相互抵消

$$\begin{array}{}\text{(32)}& x(t+t_0)\ast h(t-t_0)=x(t)\ast h(t)\end{array}$$

• $x$ 左移 $t_0$，$h$ 右移 $t_0$ 后，卷积结果与原来相同