线性时不变系统¶

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线性时不变系统（Linear Time-Invariant System）：如果一个系统既线性又时不变，我们就叫线性时不变系统。

通过研究 LTI，如果我们知道 LTI 系统的一个 \(x(t)\) 对应的 \(y(t)\) ，那么我们就知道所有 \(x(t)\) 对应的 \(y(t)\)。

离散LTI卷积公式¶

\[ y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] \tag{1} \]

其中，\(y[n]\) 表示输出信号，\(x[n]\) 表示输入信号，\(h[n-k]\) 表示该线性系统对一个移位的单位脉冲序列 \(\delta[t]\) 的响应。

如何手算？

列表法计算¶

确定 \(y[n]=x[n]*h[n]\) 取值范围
\(y[n]\) 最左边（最右边）= \(x[n]\) 最左边（最右边）+ \(h[n]\) 最左边（最右边）
把每一个 \(h[n]\) 交错相加

公式法平移计算¶

写出 \(x[n]\)
翻转得到 \(h[-n]\)
平移 \(h[-n]\) ，与 \(x[n]\) 相乘后相加，就可以，每次得到一个位置的值

连续LTI卷积公式¶

考虑用一串脉冲或者说阶梯信号 \(\hat x(t)\) 来近似 \(x(t)\)，将 \(\hat x(t)\) 用一串延时脉冲的线性组合来表示。

定义

\[ \delta _\Delta (t)= \begin{cases} \frac{1}{\Delta},& 0 \leq t < \Delta \\ 0,& other\ cases\\ \end{cases} \tag{2} \]

由于\(\Delta \cdot \delta _\Delta (t)=1\) （这里 \(\Delta\) 和 \(\delta _\Delta\) 表示的是相乘），那么 \(\hat x(t)\) 可以表示成

\[ \hat x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\delta _\Delta(t-k\Delta)\Delta \tag{3} \]

随着 \(\Delta\) 逐渐趋近于 \(0\)， \(\hat x(t)\) 将越来越近似与 \(x(t)\)，取极限后得到 \(x(t)\)，于是我们有

\[ x(t)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\delta _\Delta(t-k\Delta)\Delta \tag{4} \]

转化为积分式(\(\Delta\) 被放到了 \(\tau\) 里面，\(\tau\) 替换了 \(k\Delta\)，表示 \(k\) 时刻)：

\[ x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \tag{5} \]

下面进行连续时间线性时不变系统的卷积积分表示的推导。

令 \(\hat h_{k\Delta}(t)\) 为一个线性时不变系统对输入的冲激函数 \(\delta_\Delta(t-k\Delta)\) 的冲激响应，模仿公式 \((4)\)，我们有：

\[ \hat y(t)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}x(k\Delta)\hat h_{k\Delta}(t)\Delta \tag{6} \]

同样在极限情况下，有：

\[ y(t)=\lim_{\Delta \rightarrow0}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}x(k\Delta)\hat h_{k\Delta}(t)\Delta \tag{7} \]

随着 \(\Delta \rightarrow 0\)，这个式子就逼近于作为 \(\tau\) 的函数的 \(x(\tau)h_\tau(t)\)的面积，因此得到：

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h_\tau(t) d\tau \tag{8} \]

由于这里 \(h_\tau(t)=h_0(t-\tau)\)，我们可以得到标准形式：

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau \tag{9} \]

冲激函数的性质¶

性质1¶

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t)dt=1 \tag{10} \]

注意，由于离散的情况下没有积分情况，所以离散情况下冲激函数直接为 \(1\)

性质2¶

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\delta(t)dt=x(0) \tag{11} \]

推导过程：

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\delta(t)dt \]

\[ =\lim_{\Delta \rightarrow0}(\int^\Delta_0x(t)\cdot\frac1\Delta dt) \]

\[ =\lim_{\Delta \rightarrow0}\frac1\Delta(\int^\Delta_0x(t)\cdot dt) \]

\[ =\lim_{\Delta \rightarrow0}\frac1\Delta x(\epsilon) \ \Delta \ (0 \leq \epsilon \leq \Delta) \]

\[ =\lim_{\Delta \rightarrow0}x(\epsilon) \ (0 \leq \epsilon \leq \Delta) \]

\[ =x(0) \]

中间用到了积分中值定理

性质3¶

两个函数相等的定义：（勒贝格定义）两个函数 \(f_1(t)=f_2(t)\)，是指对任意函数 \(y(t)\)，有：

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}y(t)f_1(t)dt=\int^{+\infty}_{-\infty}y(t)f_2(t)dt \tag{12} \]

这里我们可以把\(f_1(t),\ f_2(t)\) 想象成两个函数向量空间下的基。

勒贝格积分：横着对函数进行极限划分，可以积出所有黎曼可积的函数，并且能积分出一些黎曼不可积的函数。例如：\(\lambda(t)=\begin{cases} 1,\ t \in \mathbb{Q} \\ 0, \ t \in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}\) 利用勒贝格积分得到的值就是 \(0\)。

这里的相等定义包含了一种情况，若\(f_1(t)\) \(f_1(t)\) 与 \(f_2(t)\) 只在有限个点上不相等，在其他点上相等，则 \(f_1(t)=f_2(t)\)

由这种情况和勒贝格积分可知，若 \(f_1(t)\) 与 \(f_2(t)\) 在可数个点上不相等而其他点相等，则仍有 \(f_1(t)=f_2(t)\)

这里的“可数”指的是与自然数集（即非负整数集）具有相同的势或大小的集合。

对于函数 \(f_1(t), \ f_2(t)\) 来说，当它们只在有限个点上不相等时，它们可以被视为相等。这是因为在对它们进行积分或其他类似的操作时，这些有限个不相等的点不会对结果产生影响。这种情况下的“有限”明确地意味着我们可以列举出所有这些点，并且它们的数量是有限的。

现在，要从“有限个点”扩展到“可数个点”，我们需要考虑一种更为普遍的情况，即有无限多的这样的点，但这些点是可数的。这意味着，虽然这些点是无限的，但我们仍然可以按照某种特定的顺序列举它们，例如：\(t_1,\ t_2 ,\ t_3, \ \dots\) 。最常见的例子就是所有有理数点。尽管有理数在任何两个不同的实数之间都是稠密的（即在任何两个实数之间都有无数个有理数），但所有有理数组成的集合是可数的。

为什么“可数”点上的不等关系对于函数的积分或其他度量不会产生影响呢？这是因为在勒贝格积分的定义中，具有零“测度”的集合对积分没有贡献。一个可数的集合在勒贝格意义下的测度是零。因此，即使在可数无限多的点上，两个函数不相等，它们的勒贝格积分仍然可以相等。

这种推广是在实分析和测度论的背景下进行的，特别是当我们考虑更为普遍的函数和集合时。在这种情况下，使两个函数在可数无限多的点上可能不相等，但仍被视为“相等”的定义是有用的，因为它允许我们在更为广泛的上下文中进行积分和其他操作，而不必担心这些“异常”点所带来的复杂性。

性质3公式

\[ x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t) \tag{13} \]

证明：

由\((12)\)，我们要判断相等，则将\((13)\)左右两侧分别带入。于是可以得到左边：

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}y(t)[x(t)\delta(t)]dt \]

\[ =\int^{+\infty}_{-\infty}[x(t)y(t)]\delta(t)dt \]

\[ =x(0)y(0) \]

最后一步由性质 \(2\) 得到，将 \(x(t)y(t)\) 看作一个整体。

右边：

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}y(t)[x(0)\delta(t)]dt \]

\[ =x(0)[\int^{+\infty}_{-\infty}y(t)\delta(t)dt] \]

\[ =x(0)y(0) \]

证毕。

推论：

\[ x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0) \tag{14} \]

性质4¶

\[ \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t) \tag{15} \]

证明方法与性质 \(3\) 类似，需要注意的是左侧式子换元的时候需要考虑 \(a\) 的正负。

推论：

\[ \delta(at+b)=\frac{1}{|a|}\delta(t+\frac ba) \tag{16} \]

勒贝格定义卷积相等¶

定理：若 \(h_1(t)=h_2(t)\)，则 \(x(t)*h_1(t)=x(t)*h_2(t)\)

证明：

\[ x(t)*h_1(t) \]

\[ =\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h_1(t-\tau) d\tau \]

\[ =\int_{-\infty}^{+\infty} x(t-\tau) h_1(\tau) d\tau \]

\[ =\int_{-\infty}^{+\infty} x(t-\tau) h_2(\tau) d\tau \]

\[ =x(t)*h_2(t) \]

推的时候注意积分上下限符号与 \(d\tau\) 的符号都发生了改变，因此负负得正。

该定理的逆命题也成立。

因此我们可以得到一个结论：用勒贝格函数相等定义做卷积（或分析LTI系统）是没有矛盾的。

性质5¶

\[ \delta(f(t))=\sum_{all \ f(t_0)=0}\frac{1}{|f'(t_0)|}\delta(t-t_0) \tag{17} \]

性质 \(4\) 是性质 \(5\) 的一个特例。（令\(f(t)=at\)）

\(\delta(t)\) 的多样性¶

如果要证明一个函数 \(f(t)\) 是 \(\delta(t)\)，我们只需要证明对任意函数 \(y(t)\)，有：

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}y(t)f(t)dt=y(0) \tag{18} \]

由性质 \(2\) 以及 \((12)\) 可得。“任意函数”实际上是在某些条件或限制下。

于是我们可以得到更多的 \(\delta(t)\) 的形式。(我们知道 \(\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{sin(\omega t)}{\pi t}dt=1\))

\[ \lim_{\omega \rightarrow 0} \frac{sin(\omega t)}{\pi t}=\delta(t) \tag{19} \]

证明：

引理：若 \(x(t)\) 不是无限振荡函数，则有：

\[ \lim_{\omega \rightarrow +\infty} \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cos(\omega t)dt=0 \]

\[ \lim_{\omega \rightarrow +\infty} \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\sin(\omega t)dt=0 \tag{20} \]

下证：

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}[\lim_{\omega \rightarrow +\infty} \frac{\sin(\omega t)}{\pi t}] y(t)dt=y(0) \]

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}[\lim_{\omega \rightarrow +\infty} \frac{\sin(\omega t)}{\pi t}] y(t)dt \]

\[ =\lim_{\omega \rightarrow +\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}[\frac{y(t)}{\pi t}] sin(\omega t)dt \]

\[ =\lim_{\omega \rightarrow +\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}[\frac{y(t)-y(0)}{\pi t}]sin(\omega t)dt+y(0)\lim_{\omega \rightarrow +\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin \omega t}{\pi t}dt \]

\[ =y(0) \]

最后一步拆开 \(y(t)\)，使得式子符合引理中的无限震荡函数的要求，左边=0，右边\(\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{sin(\omega t)}{\pi t}dt=1\)

证毕。

卷积性质¶

交换率¶

\[ x[t]*h[t]=h[t]*x[t] \]

\[ x(t)*h(t)=h(t)*x(t) \tag{21} \]

结合率¶

\[ [x(t)*h_1(t)]*h_2(t)=[x(t)*h_2(t)]*h_1(t) \tag{22} \]

离散同理。

分配律¶

\[ x(t)*[h_1(t)+h_2(t)]=x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t) \tag{23} \]

离散同理。

有记忆和无记忆线性是不变系统¶

对于一个LTI系统，当 \(n\neq0\)时 \(h[n]=0\)，我们说这个系统是无记忆的。

于是这时，单位脉冲响应为：

\[ h[n]=K\delta[n] \]

其中 \(K\) 为一个常数。卷积和变为：

\[ y[n]=Kx[n] \]

当 \(K=1\) 时，输入等于输出，系统就变成了恒等系统。

线性时不变系统的可逆性¶

一个线性时不变系统的冲击响应为 \(h(t)\)，另一个线性时不变系统的冲击响应为 \(h_1(t)\)，当二者满足：

\[ h(t)*h_1(t)=\delta(t) \]

我们把这两个系统叫做互为逆系统。

线性时不变系统的因果性¶

一个线性时不变系统的因果性等效于它的冲激响应是一个因果信号。也就是说对于冲激响应 \(h(t)\)，满足：

\[ h(t)=0, \ t<0 \]

此时，我们的卷积积分变为：

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau=\int_0^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau \]

线性时不变系统的稳定性¶

线性时不变系统稳定的条件为：单位脉冲响应是绝对可和（可积）的，也就是说：

\[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k]|<\infty \]

一些重要公式¶

方波的单位阶跃信号表示法¶

一个从 \(a\) 到 \(b\) 的方波可以被如下表示：

\[ u(t-a)-u(t-b) \tag{24} \]

积分器与累加器¶

\[ x(t)*u(t)=\int^t_{-\infty}x(\tau)d\tau \tag{25} \]

\[ x[n]*u[n]=\sum^n_{k=-\infty}x[k] \tag{26} \]

冲激偶函数¶

\[ \delta'(t)=\frac{d\delta(t)}{dt} \tag{27} \]

图像近似于如下所示：

在 \(t=0−\)，有一个向下的无限大的脉冲。

在 \(t=0+\)，有一个向上的无限大的脉冲。

在其他位置 \(t\neq 0, \ \delta'(t)\) 的值为0。

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\delta'(t)dt=-x'(0) \tag{28} \]

可以从这个式子推出下面这个式子：

\[ \int^{+\infty}_{-\infty}\delta'(t)dt=0 \tag{29} \]

卷积的求导¶

\[ \frac{dx(t)}{dt}=x(t)*\delta'(t) \tag{30} \]

微分器是 LTI 系统，微分器的冲激响应是 \(\delta'(t)\)（也就是微分器的 \(h(t)\) ），对微分器输入任意 \(x(t)\)，根据卷积定义，输出为 \(\frac{dx(t)}{dt}=x(t)*\delta'(t)\)

\[ \frac{d[x(t)*h(t)]}{dt}=\frac{dx(t)}{dt}*h(t)=\frac{dh(t)}{dt}*x(t) \tag{31} \]

卷积的左移右移相互抵消¶

\[ x(t+t_0) * h(t-t_0)=x(t) * h(t) \tag{32} \]

\(x\) 左移 \(t_0\)，\(h\) 右移 \(t_0\) 后，卷积结果与原来相同