连续时间傅里叶变换
傅里叶变换直观理解
非周期信号的傅里叶变换表示
对于周期信号，我们可以很容易得到它的傅里叶级数表示。然而，对于非周期信号，我们无法通过傅里叶级数对其进行表示。于是，我们就需要用傅里叶变换来对其进行表示。
傅里叶变换的本质就是将原本的时间域信号转化为频域信号，通过不同频率的正弦信号在无限范围内的组合来表示时间域下信号的样子。
傅里叶变换的推导：
现在假设我们有一个非周期函数 \(x(t)\)，它具有有限持续期 \(T_1\)，即对于某个 \(T_1\)，当 \(|t|>T_1\) 时，\(x(t)=0\)。我们接下来构建一个周期信号 \(\tilde x(t)\)，另它的一个周期 \(T\) 中包括了原有的非周期信号 \(x(t)\)。当我们另 \(T\rightarrow +\infty\) 时，我们可以发现，\(\tilde x(t)\) 和 \(x(t)\) 表示的是同一个信号。
现在我们可以得到 \(\tilde x(t)\) 的傅里叶级数表示式为：
\[
\tilde x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_ke^{jk\omega_0t}
\]
\[
a_k=\frac1T \int_{-\frac T2}^{\frac T2} \tilde x(t)e^{-jk\omega_0t}dt
\]
当我们把 \(\tilde x(t)\) 换成 \(x(t)\) 后，我们可以得到：
\[
a_k=\frac1T \int_{-\frac T2}^{\frac T2} x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac1T \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jk\omega_0t}dt
\]
转换形式：
\[
Ta_k=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jk\omega_0t}dt
\]
我们发现，对于等式的右端，当 \(x(t)\) 确定时，只与 \(\omega_0\) 有关。也就是说，对于不同的 \(\omega_0\) 的取值，会得到不同的 \(Ta_k\) 的结果。从本质上来讲，就是在找原有函数 \(x(t)\) 的不同正弦函数的分量的大小。因为我们可以很容易证明，每个不同的 \(\omega\) 对应的正弦信号都是相互正交的。
因此，我们定义 \(Ta_k\) 为关于 \(\omega\) 的一个函数：
\[
X(j\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt
\]
为什么这里会使用 \(X(j\omega)\) 而不是 \(X(\omega)\) 呢？首先是一个表示形式的方法，用于说明函数是在复平面上的，与 \(x(t)\) 刚好有个正交的关系。更重要的是，加上一个 \(j\)，能让傅里叶变换的式子和拉普拉斯变换的式子写到一起，更好说明拉普拉斯变换是傅里叶变换的一个延伸。
此时，我们还有
\[
a_k=\frac1T X(jk\omega_0)
\]
傅里叶变换对：
\[
x(t)=\frac1 {2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega
\]
\[
X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt
\]
上面两个式子称为傅里叶变换对，\(X(j\omega)\) 的式子为傅里叶变换，\(x(t)\) 的式子为傅里叶逆变换。
在之前我们假设非周期信号具有有限持续期 \(T_1\)，事实上对于无限时间的非周期信号，傅里叶变换在某些情况下依旧成立。傅里叶变换成立的条件，也就是傅里叶变换的收敛，有以下的限制条件：
- 绝对可积：最基本的条件是被变换的函数 \(x(t)\) 必须在整个实数域上绝对可积，即
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)| dt < \infty
\]
这意味着函数的绝对值的积分在整个实数轴上是有限的。
- 狄利克雷条件：对于周期函数的傅里叶级数，一个常见的收敛条件是狄利克雷条件。对于傅里叶变换，虽然形式上不同，但也有类似的条件，要求函数在任何有限区间上都有有限个极值点和不连续点。
周期信号的傅里叶变换
不难发现，在频域内，每个 \(\omega\) 对应的都是关于一个实空间下的信号和一个虚空间下的信号的组合 \(e^{-j\omega t}\) 的相关表示。
因而，我们可以尝试寻找在时域内 \(x(t)=e^{j\omega_0 t}\) 在频域内的表现形式。因为我们知道周期信号可以通过一系列这样的 \(x(t)\) 组合而成表示，所以一但找到它在频域内的形式后，我们也就可以进一步找到周期信号对应的形式了。
对于 \(x(t)=e^{j\omega_0t}\)，它的傅里叶变换后的结果 \(X(j\omega)=2\pi \delta(\omega-\omega_0)\)
因此，对于傅里叶级数表示
\[
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k e^{jk\omega_0t}
\]
的傅里叶变换结果为
\[
X(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k \delta(\omega-k\omega_0)
\]
因此，周期信号的傅里叶变换可以看成出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 \(k\) 次谐波频率 \(k\omega_0\) 上的冲激函数的面积是第 \(k\) 个傅里叶级数系数 \(a_k\) 的 \(2\pi\) 倍。
连续时间傅里叶变换性质
线性性质
\[
x(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(j\omega)
\]
\[
y(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} Y(j\omega)
\]
则
\[
ax(t) + by(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} aX(j\omega) + bY(j\omega)
\]
时移性质
若
\[
x(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(j\omega)
\]
则
\[
x(t - t_0) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} e^{-j\omega t_0}X(j\omega)
\]
信号在时间上的移位导致在频域中乘以一个相移，即 \(- \omega t_0\)，相移与时间偏移量成正比。
也就是说，当我们把傅里叶变换的形式用极坐标表示：
\[
\mathcal F\{x(t)\}=|X(j\omega)|e^{j\sphericalangle X(j\omega)}
\]
那么
\[
\mathcal F\{x(t-t_0)\}=|X(j\omega)|e^{j[\sphericalangle X(j\omega)-\omega t_0]}
\]
事实上，对于每个频域下的值，不仅存在频率值的大小，在正交位置上还存在相位角的大小，在单个信号中，我们人为设定了每个正余弦分量的相位角相互之间都为90° 的关系，而进行时移相当于对所有分量进行了时移。
共轭以及共轭对称性
若
\[
x(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(j\omega)
\]
则
\[
x^*(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X^*(-j\omega)
\]
当 \(x(t)\) 为实函数时，由于 \(x(t)=x^*(t)\)，有
\[
X(-j\omega)=X^*(j\omega)
\]
于是，
\[
\Re\{X(j\omega)\}=\Re\{X(-j\omega)\}
\]
\[
\Im\{X(j\omega)\}=-\Im\{X(-j\omega)\}
\]
\(x(t)\) 为实偶函数，那么 \(X(j\omega)\) 一定也为实偶函数。
\(x(t)\)是时间的实奇函数，而有 \(x(t) = -x(-t)\)，那么 \(X(j\omega)\) 就是纯虚奇函数。
\(x(t)\) 为实函数，则有
\[
x(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(j\omega)
\]
\[
\text{Ev}\{x(t)\} \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} \Re\{X(j\omega)\}
\]
\[
\text{Od}\{x(t)\} \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} j\Im\{X(j\omega)\}
\]
微分与积分
\[
\frac{dx(t)}{dt} \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} j\omega X(j\omega)
\]
\[
\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} \frac1 {j\omega}X(j\omega) +\pi X(0)\delta(\omega)
\]
时间与频率的尺度变换
\[
x(at) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})
\]
由上式推出的一个特别的结论：
\[
x(-t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(-j\omega)
\]
对偶性
连续时间傅里叶变换的对偶性是指时间域和频率域之间的一种对称关系。这种对称性表明，信号在时间域中的某些操作在频率域中有对应的对偶操作，反之亦然。
对偶性能用来确定或联想到傅里叶变换的其他性质。例如，如果一个时间函数有某些特性，而这些特性在其傅里叶变换中隐含着一些别的什么东西，那么与频率函数有关的同一特性也会在时域中隐含着对偶的东西。
帕斯瓦尔定理
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega
\]
帕斯瓦尔定理指出，总能量既可以按每单位时间内的能量在整个时间内积分计算出来，也可以按照每单位频率内的能量在整个频率范围内积分得到。
卷积性质
\[
y(t)=h(t)*x(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)
\]
相乘性质
对偶于卷积性质，我们可以得到相乘性质：
\[
r(t)=s(t)p(t) \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} R(j\omega)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(j\theta)p(j(\omega-\theta))d\theta
\]
由线性常系数微分方程表征的系统
对于输入输出满足如下形式的线性常系数微分方程的系统：
\[
\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}
\]
则
对上式两边取傅里叶变换，得
\[
\mathcal{F}\left\{\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k}\right\} = \mathcal{F}\left\{\sum_{k=0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}\right\}
\]
根据线性性质，上式变为
\[
\sum_{k=0}^{N} a_k \mathcal{F}\left\{\frac{d^k y(t)}{dt^k}\right\} = \sum_{k=0}^{M} b_k \mathcal{F}\left\{\frac{d^k x(t)}{dt^k}\right\}
\]
由微分性质，可得
\[
\sum_{k=0}^{N} a_k (j\omega)^k Y(j\omega) = \sum_{k=0}^{M} b_k (j\omega)^k X(j\omega)
\]
从而可求出
\[
Y(j\omega) = X(j\omega) \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k (j\omega)^k}{\sum_{k=0}^{N} a_k (j\omega)^k}
\]
系统的频率响应
\[
H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k (j\omega)^k}{\sum_{k=0}^{N} a_k (j\omega)^k}
\]
\(H(j\omega)\) 是一个有理函数，也就是两个多项式的比值。
通过上面的步骤，我们可以确定任何一个由线性常系数微分方程描述的线性时不变系统的频率响应 \(H(j\omega)\)，然后利用部分分式展开来计算单位冲激响应，随后进行逆变换可以得到 \(y(t)\)。部分分式展开就是用待定系数法尽可能简单的分解分式，然后对每个最简分式进行逆变换。