离散时间傅里叶变换¶
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非周期信号的离散时间傅里叶变换表示¶
\[
x[n]=\frac1{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega
\]
\[
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}
\]
上面是非周期信号的离散时间傅里叶变换对。
通过这两个式子，我们可以看出 \(x[n]\) 信号是怎样由不同频率的复指数序列组成的。此外，由于离散时间的复指数信号在频率上相差 \(2\pi\) 是完全一样的，因而，我们可以得到 \(X(e^{j\omega})\) 也是周期的并且周期为 \(2\pi\)。
离散时间傅里叶变换的收敛问题¶
上述的傅里叶变换在 \(x[n]\) 为无限长序列的情况下会面临收敛问题。为了收敛，\(x[n]\) 需要绝对可和，也就是
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|<\infty
\]
或具有有限能量：
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2<\infty
\]
周期信号的傅里叶变换¶
和连续时间的情况下相同，周期信号可以表示为冲激串，因而我们可以导出周期信号在离散时间傅里叶变换下的表现。
考虑周期序列 \(x[n]\):
\[
x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0 n}
\]
经过傅里叶变换后的结果为：
\[
X(e^{j\omega})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k \delta(\omega-k\omega_0)
\]
离散时间傅里叶变换性质¶
离散时间傅里叶变换的周期性¶
\[
X(e^{j(\omega+2\pi)})=X(e^{j\omega})
\]
线性性质¶
\[
ax_1[n]+bx_2[n] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})
\]
时移与频移性质¶
\[
x[n] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(e^{j\omega})
\]
\[
x[n-n_0] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} e^{-j\omega n_0} X(e^{j\omega})
\]
\[
e^{j\omega_0 n}x[n] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})
\]
共轭与共轭对称性¶
\[
x[n] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(e^{j\omega})
\]
则
\[
x^*[n] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X^*(e^{-j\omega})
\]
同时，若 \(x[n]\) 是实值序列，那么其变换是共轭对称的，即
\[
X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})
\]
差分与累加¶
差分公式：
\[
x[n]-x[n-1] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})
\]
累加公式：
\[
\sum_{m=-\infty}^nx[m]\leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}}X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)
\]
时间反转¶
\[
x[-n] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(e^{-j\omega})
\]
时域拓展¶
定义：
\[
x_{(k)}[n]=\begin{cases} x[n/k] \text{， n为 k 的整数倍}\\
0 \text{， n 不为 k 的整数倍}
\end{cases}
\]
\[
x_{(k)}[n]\leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} X(e^{jk\omega})
\]
频域微分¶
\[
nx[n] \leftarrow \overset{\mathcal{F}}{\rightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}
\]
帕斯瓦尔定理¶
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2=\frac1{2\pi} \int_{2\pi} |X(e^{j\omega})|^2d\omega
\]
卷积性质¶
\[
y[n]=x[n]*h[n]
\]
\[
Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})
\]
其中，\(X(e^{j\omega})\) \(H(e^{j\omega})\) \(Y(e^{j\omega})\) 分别为 \(x[n]\) \(h[n]\) \(y[n]\) 的傅里叶变换。
相乘性质¶
考虑 \(y[n]=x_1[n]*x_2[n]\)，现在希望求得他们的傅里叶变换形式：
\[
Y(e^{j\omega})=\frac1{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(w-\theta)})d\theta
\]
由线性常系数差分方程表征的系统¶
对于一个 LTI 系统而言，其输出 \(y[n]\) 和输入 \(x[n]\) 之间的线性常系数差分方程一般具有如下形式：
\[
\sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_k x[n-k]
\]
我们希望找到它的频率响应 \(H(e^{j\omega})\)，进而可以很容易反推出单位冲激响应 \(h[n]\)
\[
H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}
\]
通过对差分方程应用傅里叶变换以及线性和时移性质，我们可以得到：
\[
\sum_{k=0}^Na_ke^{-jk\omega}Y(e^{j\omega})=\sum_{k=0}^M b_k e^{-jk\omega}X(e^{j\omega})
\]
进而，我们可以得到频率响应的表达形式：
\[
H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}=\frac{\sum_{k=0}^M b_k e^{-jk\omega}}{\sum_{k=0}^Na_ke^{-jk\omega}}
\]
最后对 \(H(e^{j\omega})\) 利用傅里叶逆变换可以得到 \(h[n]\)。