拉普拉斯变换¶
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连续时间傅里叶变换到拉普拉斯变换¶
连续时间的傅里叶变换的形式表示为：
观察得到，自变量为 \(j\omega\) 为纯虚数。在拉普拉斯变换中，我们令 \(s=\sigma + j\omega\) 为复数的形式，于是我们得到拉普拉斯变换的定义：
也就是说，傅里叶变换与拉普拉斯变换有很强的相关性。
当我们将 \(s\) 代入拉普拉斯变换的定义式中时，我们可以发现：
因而，拉普拉斯变换为广义的傅里叶变换，傅里叶变换为其一种特殊形式。
正如傅里叶变换不是对所有信号都收敛一样，拉普拉斯变换也可能对某些 \(\Re\{s\}\) 值收敛，而对其它的 \(\Re\{s\}\) 不收敛。因此，在考虑拉普拉斯变换的时候，我们需要特别关注收敛域的情况。这将在后面进一步引出零-极点图。
拉普拉斯变换收敛域¶
性质1：\(X(s)\) 的收敛域在 \(s\) 平面内由平行于 \(j\omega\) 轴的带状区域所组成。
性质2：对有理拉普拉斯变换来说，收敛域内不包括任何极点。
有理拉普拉斯变换是指那些其拉普拉斯变换是有理函数的函数。如果这个变换 \(X(s)\) 是一个有理函数，那么 \(x(t)\) 的拉普拉斯变换就被称为有理拉普拉斯变换。有理拉普拉斯变换的一个关键特点是它们在s域（复频域）中的行为通常更容易分析和理解。
性质3：如果 \(x(t)\) 是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个 \(s\) 平面。
性质4：如果 \(x(t)\) 是右边信号，并且 \(\Re\{s\}=\sigma_0\) 这条线位于收敛域内，那么 \(\Re\{s\}>\sigma_0\) 的全部 \(s\) 值都一定在收敛域内。
性质5：同性质4 类似，如果 \(x(t)\) 是左边信号，并且 \(\Re\{s\}=\sigma_0\) 这条线位于收敛域内，那么 \(\Re\{s\}<\sigma_0\) 的全部 \(s\) 值都一定在收敛域内。
性质4 和 性质5 的证明方法类似，我们可以通过判断不同 \(\sigma\) 情况下的收敛情况得到。下面以 性质4 的证明为一个例子：
由于 \(\sigma_0\) 情况下已经收敛，那么小于 \(\sigma_0\) 的 \(\sigma_1\) 的情况下也一定收敛，得到证明。
性质6：如果 \(x(t)\) 是双边信号，并且 \(\Re\{s\}=\sigma_0\) 这条线位于收敛域内，那么收敛域就一定由 \(s\) 平面的一条带状区域组成，直线 \(\Re\{s\}=\sigma_0\) 位于带中。
性质7：如果 \(x(t)\) 的拉普拉斯变换 \(X(s)\) 是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含 \(X(s)\) 的任何极点。
性质8：如果 \(x(t)\) 的拉普拉斯变换 \(X(s)\) 是有理的，那么若 \(x(t)\) 是右边信号，则其收敛域在 \(s\) 平面上位于最右边极点的右边；若 \(x(t)\) 是左边信号，则其收敛域在 \(s\) 平面上位于最左边极点的左边。