傅里叶级数¶
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这是一份线性代数中关于傅里叶级数的引出介绍。
前置知识¶
假定有一组(\(n\) 个)标准正交向量 \(q_1, q_2, q_3...q_n\)，它们是 \(n\) 维空间一组完整基。那么此空间中，任意向量 \(v\) 可由这组基的线性组合表示:
矩阵化的表示方法是：
于是有：
由于 Q 是正交阵，有
可以得到：
对应到各个分量：
这个结论还可以用之前的\(v = x_1q_1 + x_2q_2 + ... + x_nq_n\)计算:
由于\(v = x_1q_1 + x_2q_2 + ... + x_nq_n\) 中的\(q_i\)都是标准正交基，有
在\(v = x_1q_1 + x_2q_2 + ... + x_nq_n\) 两侧同时乘上\(q_i^T\),也能得到 \(x_i = q_i^Tv\) 这个结果。其意义即为向量与标准正交基的点乘,求得各分量。
傅里叶级数¶
设函数
这个问题与之前的问题有什么关系?一样都是无穷维,但关键性质是函数正交。
注：上述形式就是傅里叶级数,作用在函数空间上,用函数\(f(x)\) 来代替向量 \(v\),也就是使用正交函数来代替原本上面介绍的标准正交基 \(q_1, q_2, q_3..\)。反映到上面的函数中,基就是 \(1\), \(cosx\), \(sinx\), \(cos2x\), \(sin2x\)...
而且傅里叶级数成立的原因即是:这些基是正交的。
(1)下面解释下函数空间下的“正交”:
我们知道,对于向量的点积为:
\(w^Tv = w_1v_1 + w_2v_2 + ... + w_nv_n\)
在这里,向量可以看做是离散的,但是上面给出的函数,它们在其定义域上是连续的,那么对于两个连续函数而言,其内积是什么?
对比上面的向量内积的形式,对于函数而言,与之最相似的情况就是在每个\(x\)值上的 \(g(x)\cdot f(x)\),而连续情况对应的就是对其进行积分。至于其积分上下限:
观察到函数\(f(x)\)是一个周期函数,周期为\(\pi/2\)。所以这里最好也是从\(0\)积分到\(\pi/2\)。
定义好函数空间的内积之后,我们可以检验一下正交性,明显可以得到傅里叶级数中的基是正交的。
(2)下面解决系数的求解问题。
函数:
\(f(x) = a_0 + a_1cosx + b_1sinx + a_2cos2x + b_2sin2x + ...\)
以求解其中的中的\(a_1\)为例,与之前讲过的向量求解是类似的,利用正交基,直接将向量与正交基点乘来求各分量。
这里将函数 \(f(x)\)与 cos\(x\) 作内积,所以就可以得到：
投影到 \(cos\) 这个基上,经过计算剩下的也只剩下了
和向量形式一样。所以,\(a_1\)的值为:
其他的对应值以此类推,可见,函数也可以展开到一组标准正交基上。
来自github的笔记，偷懒了。这个github笔记真的好香
有什么用？¶
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傅里叶级数是表征周期函数的一种重要工具,它具有非常广泛的应用,主要用途包括:
- 信号分析与合成
傅里叶级数可以将任意周期性信号分解为一组不同频率的正弦和余弦函数之和,这是频域分析的数学基础。也可以通过傅里叶级数合成需要的信号。这在通信、信号处理等领域都有大量应用。
- 解微分方程
许多物理和工程问题可建立微分方程模型。傅里叶级数方法可以将微分方程转化为代数方程求解,从而方便求解一些困难的微分方程问题。
例如：
考虑定常状态下的一维热传导方程:
\(\frac{d^2 T}{dx^2} = 0\)
边界条件为: \(T(0) = 0\), \(T(L) = 100\)
这里 \(T(x)\) 表示位置x处的温度,L为导体长度。
这是一个二阶常微分方程的边值问题。直接求解较困难,但可以用傅里叶级数方法转化为代数方程解决。
假设解可以展开为傅里叶级数:
\(T(x) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L})\)
将其带入原方程,并考虑边界条件,可以得到:
\(a_0 = 100\)
\(a_n = 0\)
\(b_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}200\)
所以温度分布为:
\(T(x) = 100+\frac{200}{\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi x}{L}\)
通过傅里叶级数将微分方程转化为代数方程求解,得到温度分布解析表达式。这避免了直接积分求解的复杂过程。
- 图像处理
通过傅里叶变换可将图像从空间域转换到频率域,进行平滑、增强、压缩等处理,然后再转换回空间域。这是数字图像处理中的基础方法。
- 数据压缩
可使用傅里叶描述的信号特性,提取重要的低频信息进行有损压缩。JPEG、MP3等标准就利用了这一原理。