e的矩阵指数与微分方程¶
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定义¶
设
也可以表示为:
有什么用?¶
从微分方程组的角度来了解
可以将上述方程组用矩阵形式表示如下:
从线性变换的几何角度理解这个式子,点
把矩阵和方程组用微分简写表示后,得到
接下来与一个基本的微分方程作对比:
我们都知道,这个微分方程的解为
其中
对比
矩阵指数的定义很大程度上就是为了保证上面式子的正确性。
怎么算?¶
其中:
是一个方阵 是时间变量 是一个非奇异矩阵 表示对角矩阵,其对角线元素为 , 是矩阵A的特征值 矩阵由矩阵A的特征向量构成
换句话说,矩阵指数函数
题外话:关于薛定谔方程¶
将
代表一个具体的描述系统状态的向量,封装一个系统内你关心的所有信息,例如粒子的位置和动量
这个方程告诉我们状态向量的变化率等于一个矩阵乘上它自己。
薛定谔方程部分表示一系列的旋转。有待深入理解,这里不多写,内容可能也有些问题。
本文部分参考3b1b的视频。